Approximation des Filtres Numériques RIF- 2D par la Méthode des Réalisations Equilibrées

Abstract

مبتدئين بتصميم مرشح رقمي ثنائي البعد متناظر دائريا بالنسبة لمركز المستوى الترددي ذو استجابة نبضية محدودة بطريقة النوفذة (استعمال النوافذ)، يمكن إيجاد صيغة لهذا الأخير في فضاء الحالات، و ذلك في شكل ممكن التحكم و ممكن الملاحظة موضعيا ممثلا في نموذج جيفون-رويسر، هذا النوع من المرشحات يتميز بإمكانية فصل مقام دالته التحويلية وهذا يسمح بتمديد معنى ڨراميانات التحكم و الملاحظة في المجال ثنائي البعد، هذه الأخيرة يمكن حسابها من خلال زوجين اثنين من معادلة ليابونوڥ كل واحدة منهما تمثل نظاما أحاديا، و بذلك يمكن تطبيق طريقة الصيغ المتوازنة على هذه الأنظمة. هذا الإجراء يسمح بتوازن النظام ثنائي البعد الإجمالي. وهكذا فإن اختزال النموذج يكون بعد ذلك بتنحية الحالات الأقل تحكما و الأقل ملاحظة التي تمثل القيم الفردية الأضعف وهذا بالنسبة لكلا النظامين. التقنية المطروحة تحفظ الخصائص الأساسية للمرشح الابتدائي ذو الرتبة التامة، مثل الاستقرار، خطية الطور وغير ذلك. في الأخير ينتج لدينا مرشح ذو استجابة نبضية غير محدودة مع خاصية المقام المفصول، و كل هذا مفضل عند التنفيذ الفيزيائي. لمعرفة مدى فعالية و كفاءة التقنية المطروحة نعتمد على عدة محاكاة افتراضية.

Commençant par la synthèse d’un filtre numérique RIF-2D circulairement symétrique par rapport à l’origine de plan fréquentielle, par la méthode de fenêtrage, on peut trouver une réalisation de ce filtre dans l’espace d’états sous une forme canonique localement commandable et localement observable représentée par le modèle de Givone-Roesser, ce type de filtre possède une caractéristique de dénominateur séparable dans son fonction de transfert qui permet d’étendre les notions de Gramians de commandabilité et d’observabilité unidimensionnels au cas bidimensionnel, ces Gramians peuvent être calculés à partir de deux paires d’équations de Lyapunov chaque une représente un système unidimensionnel. Alors, on peut appliquer la méthode des réalisations équilibrées sur ces systèmes. Cette procédure permet d’équilibrer le système bidimensionnel global. La réduction d’ordre de modèle s’effectue dans le sens où les états du modèle faiblement comandables et faiblement observables, correspondant aux valeurs singulières faibles sont éliminés, et ça pour les deux systèmes. La technique présenté préserve les propriétés clés du filtre initial d’ordres complets, voir la stabilité, la minimalité, et la phase linéaire. Finalement, le filtre résultant est un filtre RII à dénominateur séparable, qui préféré dans l’implémentation hardware. Les performances et l’efficacité de la méthode présentée sont montrées par diverse simulations.

Starting by the design of a circular symmetric digital FIR-2D filter with respect to the origin of the frequential plan, by the windowing method, we can find a realization of this filter in the state space, in a canonical form locally controllable and observable represented in the model of Givone-Roesser, this kind of filter have the characteristic of separable denominator in its transfer function witch allow to extend the notions of controllability and observability Gramians to the two-dimensional field, these Gramians can be calculated from two pairs of Lyapunov equations each one represent 1D systems, then, we can apply the method of balanced realizations to these systems. This procedure allow to balancing the global 2D system. Model reduction is carried out in the direction where the states of the model slightly commendable and slightly observable, corresponding to the lower singular values are eliminated, and that for the two systems. The technique presented preserves the key properties of the initial filter of full order, i.e., stability, the minimality, and linear phase. Finally, the resulting filter is separable in denominator IIR filter, which preferred in the hardware implementation. The performances and the effectiveness of the method presented are shown by various simulations.