Reduction of second-order continuous systems based on Krylov space

Abstract

يعتبر نموذج ثابت الوقت الخطي ( واسع النطاق من الدرجة الثانية تمثيلً معروفًا لنمذجة السلوك الديناميكيللأنظمة المعقدة متعددة المتغيرات في مختلف مجالات العلوم والهندسة ، مثل الكهربائية والميكانيكية والهيكلية والكهرومغناطيسية والميكرو. - الأنظمة الكهروميكانيكية. (MEMS) تواجه بعض هذه الأنظمة مشاكل حسابية في المحاكاة بسبب ترتيب نموذجها الضخم ، لمعالجة هذه المشكلة. فإنه من المناسب العثور على نموذج تقريبي موثوق به بترتيب مخفض ، والذي يحل محل النموذج الأصلي في المحاكاة أو عنصر التحكم ، والذي يمكن أن يحافظ على بنية الترتيب الثاني للنظام الأصلي ونفس الخصائص الرئيسية للنموذج ذو الترتيب الكامل مثل الاستقرار. في هذه الأطروحة ، تم تقديم خوارزمية جديدة لتقليل الأنظمة الديناميكية ذات الأبعاد الكبيرة من الدرجة الثانية من خلال إجراء تخفيض Arnoldi من الدرجة الثانية (SOAR) مع معيار إيقاف يعتمد على معامل جديد ، يُعرف باسم معامل أداء التصنيف الرقمي (NRPC) ، من أجل الإنهاء المبكر الفعال واختيار الترتيب الأمثل التلقائي للنموذج المصغر. الفكرة الرئيسية لهذه التقنية هي حساب معامل NRPC لكل تكرار لخوارزمية SOAR ، وقياس معلومات التطور الديناميكي للنظام الأصلي ، والتي تضاف إلى كل متجه من فضاء Krylov الفرعي الذي تم إنشاؤه بواسطة خوارزمية SOAR. عندما يتم التحقق من حالة التسامح الديناميكي ، يتم إيقاف الإجراء التكراري للخوارزمية. تم استخدام الأمثلة العددية المطبقة على ثلاث نماذج معيارية للتحقق من فعالية وبساطة الخوارزمية المقترحة. Le modèle linéaire invariant dans le temps (LTI) de second ordre à grande échelle est considéré comme une représentation bien connue pour modéliser le comportement dynamique de systèmes complexes multi variables dans divers domaines de la science et de l'ingénierie, tels que l'électricité, la mécanique, la structure, l'électromagnétisme et la micro -systèmes électromécaniques (MEMS). Certains de ces systèmes rencontrent des problèmes de calcul dans la simulation en raison de leur ordre de modèle énorme, pour traiter ce problème. Il convient donc de trouver un modèle approximé fiable d'ordre réduit, qui remplace le modèle d'origine dans la simulation ou le contrôle, qui peut conserver la structure de second ordre du système d'origine et les mêmes propriétés clés du modèle d'ordre complet telles que la stabilité. Dans cette thèse, un nouvel algorithme est introduit pour réduire les systèmes dynamiques de second ordre de grande dimension grâce à la procédure de réduction d'Arnoldi du second ordre (SOAR) avec un critère d'arrêt basé sur un nouveau coefficient, connu sous le nom de coefficient de performance de rang numérique (NRPC), pour résiliation anticipée efficace et sélection automatique optimale de la commande du modèle réduit. L'idée clé de cette technique est de calculer le coefficient NRPC pour chaque itération de l'algorithme SOAR, et de mesurer les informations d'évolution dynamique du système d'origine, qui sont ajoutées à chaque vecteur du sous-espace de Krylov généré par l'algorithme SOAR. Lorsque la condition de tolérance dynamique est vérifiée, la procédure itérative de l'algorithme est arrêtée. Des exemples numériques appliqués sur trois modèles de référence sont utilisés pour vérifier l'efficacité et la simplicité de l'algorithme proposé the large-scale second-order linear time-invariant (LTI) model is considered a well-known representation for modeling the dynamic behavior of multi-variable complex systems in various fields of science and engineering, such as electricity , mechanics, structure, electromagnetism and micro-electromechanical systems (MEMS) some of these systems have computational problems in simulation due to their huge model order. To deal with this problem, it is therefore necessary to find a reliable approximated reduced-order model, which replaces the original model in simulation or control, which can retain the second-order structure of the original system and the same key properties of the original model such as stability. In this thesis a new algorithm is introduced for reducing the large dimensional second-order dynamic systems through the Second Order Arnoldi Reduction (SOAR) procedure with a stopping criterion based on a new coefficient, known as the Numerical Rank Performance Coefficient (NRPC), for efficient early termination and automatic optimal order selection of the reduced model. The key idea of this technique is to calculate the NRPC coefficient for each iteration of the SOAR algorithm, and to measure the dynamic evolution information of the original system, which is added to each vector of the Krylov subspace generated by SOAR algorithm. When the dynamical tolerance condition is verified the iterative procedure of the algorithm is stopped. Numerical examples applied on three benchmark models are used to check the effectiveness and simplicity of the proposed algorithm .