Synthesis of digital filters based on series approximations

Abstract

تُستخدم المرشحات الرقمية المتغيرة على نطاق واسع في العديد من تطبيقات معالجة الإشارات بسبب قدرتها على ضبط خصائص التردد الذاتي، مثل تردد القطع وعرض النطاق الترددي. تقترح هذه الأطروحة صيغ جديدة لفضاء الحالة للمرشحات الرقمية المتغيرةبناءً على تحولات التردد. في الجزء الأول، قدمنا لمحة عامة موجزة عن المرشحات الرقمية، ثم لمحة عامة عن التطور الأخير في المرشحات الرقمية المتغيرة، مع التركيز على مشاكل التصميم والإدراك والتطبيق على الترشيح التكيفي. ثم ننتقل إلى نظرية تحويل التردد من وجهة نظر الخصائص الداخلية للمرشحات. في الجزء الثاني، تم إنشاءمرشحات رقمية متغيرة باستخدام نموذج فضاء الحالة على أساس تحويل التردد، والذي يتطلب المصفوفة العكسية والجذر التربيعي، مما يؤدي إلى ارتفاع التكاليف الحسابية. ثم تم تنفيذ خوارزمية جديدة لتوليد نفسالمرشح الرقمي المتغيرفي غياب الحسابات المعقدة التي استخدمت التقريب ثنائي الحدود السالب وسلسلة تايلور في صياغة بسيطة لفضاء الحالة. توفر هذه الخوارزمية تقريبات عالية الدقة للمصفوفة العكسية والجذر التربيعي مقارنة بالخوارزميات الأخرى التي تم تطويرها. أخيرًا، يتم تقديم دراسة مقارنة بين الأعمال الحالية والتقنية المقترحة بمساعدة الرسوم التوضيحية من الأدبيات. وبالتالي، فإنالمرشحات الرقمية المتغيرةالمقترحة لها دقة ضبط عالية فيما يتعلق بتأثيراتطول الكلمة المحدودة

Variable digital filters are widely used in several signal-processing applications because of their capability of self-tuning frequency characteristics, such as the cutoff frequency and the bandwidth. This thesis proposes new state-space formulations of IIR Variable Digital Filters (VDFs) based on frequency transformations. In the first part, we presented a brief overview of digital filters, then a general overview of the recent development in variable digital filters, focusing on the problems of design and realization and application to adaptive filtering. Then, we proceed into the theory of frequency transformation from the viewpoint of the internal properties of filters.In the second part, VDFs were created using a state-space model based on a frequency transformation, which requires the inverse matrix and the square root, leading to high computational costs. Then a new algorithm was implemented to generate the same VDFs absent the complex calculations that utilized negative binomial and Taylor series approximations in a simple state-space formulation. This algorithm provides high-accuracy approximations of the inverse matrix and square root compared to other algorithms that have been developed. Finally, a comparison study is presented between current works and the suggested technique with the help of illustrations from the literature. Thus, the proposed VDFs have high tuning accuracy with respect to finitewordlength effects.

Les filtres numériques variables sont largement utilisés dans plusieurs applications de traitement de signaux en raison de leur capacité à régler eux-mêmes les caractéristiques de fréquence, telles que la fréquence de coupure et la bande passante. Cette thèse propose de nouvelles formulations d’espace d’état de filtres numériques variables RII (FNV) basées sur des transformations fréquentielles. Dans la première partie, nous avons présenté un bref aperçu des filtres numériques, puis un aperçu général de l’évolution récente des filtres numériques variables, en mettant l’accent sur les problèmes de conception et de réalisation et d’application au filtrage adaptatif. Ensuite, nous passons à la théorie de la transformation de fréquence du point de vue des propriétés internes des filtres. Dans la deuxième partie, les FNV ont été créés à l’aide d’un modèle d’espace d’état basé sur une transformation en fréquence, qui nécessite la matrice inverse et la racine carrée, ce qui entraîne des coûts de calcul élevés. Ensuite, un nouvel algorithme a été mis en œuvre pour générer les mêmes FNV en l’absence des calculs complexes qui utilisaient des approximations binomiales négatives et des séries de Taylor dans une formulation simple d’espace d’état. Cet algorithme fournit des approximations de haute précision de la matrice inverse et de la racine carrée par rapport à d’autres algorithmes qui ont été développés. Enfin, une étude comparative est présentée entre les travaux actuels et la technique suggérée à l’aide d’illustrations de la littérature. Ainsi, les FNV proposés ont une grande précision d’accord en ce qui concerne les effets de longueur de mot finie.